数学オリンピック / 不等式

Cauchy-Schwarz不等式

Cauchy-Schwarz不等式は、平方和と内積を結ぶ道具です。分数式評価や和の下界評価で頻出なので、基本形とEngel形の両方を押さえます。

基本形

実数 \\(a_1,\ldots,a_n, b_1,\ldots,b_n\\) に対して

(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\ge (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2

等号成立は2つのベクトルが比例するとき、すなわち \\((a_1,\ldots,a_n)=t(b_1,\ldots,b_n)\\)。

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示すべき式は \\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\\ge (ax+by)^2\\)。

(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2\ge 0

よって成立。等号は \\(ay=bx\\) のとき。

内積を \\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\\) とすると、Cauchy-Schwarzは \\(|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\\le ||\mathbf{u}||\,||\mathbf{v}||\\) です。

「射影の長さは元の長さを超えない」という幾何の事実と同じ内容です。比例条件が等号成立に対応します。

正の数 \\(a_1,\ldots,a_n\\) に対して

\frac{x_1^2}{a_1}+\cdots+\frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{a_1+\cdots+a_n}

分数和の下界を一気に作れるため、数オリ不等式で非常に重要です。

実数 \\(a,b,x,y\\) に対し、\\((a^2+b^2)(x^2+y^2)\\ge (ax+by)^2\\) を示せ。

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上の2変数証明と同じ。左辺−右辺を平方に落とせば終わる。

正の実数 \\(a,b,c\\) に対し、\\(\\frac{a^2}{b}+\\frac{b^2}{c}+\\frac{c^2}{a}\\ge a+b+c\\) を示せ。

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Engel形より

\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c

等号は \\(a=b=c\\)。

正の実数 \\(x,y\\) に対し、\\(\\frac{x^2}{y}+\\frac{y^2}{x}\\ge x+y\\) を示せ。

解答を見る

2項のEngel形で

\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x} \ge \frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y

等号は \\(x=y\\)。

大学受験では型が見えやすい問題が多いですが、数オリでは「どの形に変形すればCauchyが刺さるか」を自力で作る必要があります。